ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ СРЕДНЕЙ АМПЛИТУДЫ В СЕМЕЙСТВЕ ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ КУКЛЕСА 

Мачулис Владислав Владимирович, кандидат педагогических наук, доцент, кафедра фундаментальной математики и механики, Тюменский государственный университет (Россия, г. Тюмень, ул. Володарского, 6), E-mail: marelik@runbox.com 

517.938 

DOI

10.21685/2072-3040-2019-2-4 

Актуальность и цели. Отыскание предельных циклов полиномиальных систем восходит ко второй части 16-й проблемы Гильберта, которая до сих пор не решена в полной мере. Поиск предельных циклов осуществлялся различными методами, среди которых отметим нахождение ляпуновских величин и метод усреднения. Целью данной работы является проверка возможности применения метода усреднения первого порядка к системе Куклеса четвертого порядка для нахождения среднеамплитудных предельных циклов при полиномиальном возмущении.
Материалы и методы. С. Ребойо-Пердомо и К. Видаль изучали квадратичную систему Куклеса и получили аналитические уравнения, которые позволяют находить малоамплитудные и среднеамплитудные предельные циклы при квадратичном возмущении. Мы рассматриваем систему Куклеса четвертого порядка и применяем аналогичный подход для нахождения среднеамплитудных предельных циклов. Поскольку в этом случае точных аналитических уравнений получить не удалось, применялись приближенные методы.
Результаты. Показано, что «приближенный» метод усреднения первого порядка позволяет находить предельные циклы средней амплитуды, которые возникают из периодических траекторий центра в системе Куклеса четвертого порядка.
Выводы. Доказано, что в системах Куклеса четвертого порядка и определенного вида метод усреднения первого порядка можно применить для нахождения среднеамплитудных предельных циклов, лежащих внутри гомоклинической петли. 

Ключевые слова

16-я проблема Гильберта, предельный цикл, система Куклеса, метод усреднения 

 Скачать статью в формате PDF

1. Проблемы Гильберта : сборник / под. ред. П. С. Александрова. – Москва : Наука, 1969. – С. 48–49.
2. Osuna, O. On a class of invariant algebraic curves for Kukles systems, Electron / O. Osuna, S. Rebollo-Perdomo and G. Villasenor // J. Qual. Theory Differ. Equ. – 2016. – № 61. – Р. 12.
3. Rebollo-Perdomo, S. Bifurcation of limit cycles for a family of perturbed Kukles differential systems / Salomon Rebollo-Perdomo and Claudio Vidal // Discrete and Continuous Dynamical Systems. – 2018. – Vol. 38, № 8. – P. 4189–4202.
4. Llibre, J. Higher order averaging theory for finding periodic solutions via Brouwer degree / J. Llibre, D. D. Novaes and M. A. Texeira // Nonlinearity. – 2014. – Vol. 27. – P. 563–583.
5. Llibre, J. Limit cycles bifurcating from isochronous surfaces of revolution in R3 / J. Llibre, S. Rebollo-Perdomo and J. Torregrosa // J. Math. Anal. Appl. – 2011. – Vol. 381. – P. 414–426.